Taipei Municipal University of Education
Provide Education Programme only for Future Primary School Teachers?
Year 1
CORE
1. Calculus
一、單變數函數的極限與連續
(1) 各類極限的定義與基本性質。
(2) 連續函數的定義與基本性質。
(3) 中間值定理、極值定理及其應用。
二、單變數函數的導數及其應用
(1) 導數的定義、高階導數與微分公式。
(2) 初等函數的導函數、變率、微分的連鎖律、隱微分法。
(3) 微分與Newton法。
(4) 均值定理、函數的遞增與遞減、極值。
(5) 函數圖形的漸近線與凹性。
三、單變數函數的積分及其應用
(1) 定積分的意義及其基本性質。
(2) Riemann和與連續函數的可積分性。
(3) 微積分基本定理與積分的均值定理。
(4)定積分的應用,如:曲線長、面積、旋轉體表面積與旋轉體體積。
(5) 基本函數:對數與指數函數、反三角函數、雙曲函數。
(6) 不定積分的意義。
(7)定積分與不定積分的各種技巧.如:分部積分法、變數代換法、分
項分式法、反三角函數、雙曲函數等。
(8) 定積分的近似求法。
四、數列與無窮級數
(1) 最小上界性質與證明連續函數中間值定理、極值定理。
(2) 數列的各類極限定義與基本性質。
(3) 數列的不定型與L’Hospital法則。
(4) 瑕積分。
(5) 收斂級數的定義與基本性質。
(6) 正項級數、交錯級數、絕對收斂與斂散性的檢驗。
(7) Taylor級數與冪級數。
五、多變數函數的微積分(本單元偏重在計算方面)。
(1) 偏導數、極限與連續函數的概念。
(2) 微分、均值定理與極值。
(3) 切線與切平面。
(4) 二重積分與三重積分的概念。
(5) 重積分的Jacobian變數代換法。
(6) 二重積分與三重積分的計算與應用。
Year 1
CORE
1. Calculus
一、單變數函數的極限與連續
(1) 各類極限的定義與基本性質。
(2) 連續函數的定義與基本性質。
(3) 中間值定理、極值定理及其應用。
二、單變數函數的導數及其應用
(1) 導數的定義、高階導數與微分公式。
(2) 初等函數的導函數、變率、微分的連鎖律、隱微分法。
(3) 微分與Newton法。
(4) 均值定理、函數的遞增與遞減、極值。
(5) 函數圖形的漸近線與凹性。
三、單變數函數的積分及其應用
(1) 定積分的意義及其基本性質。
(2) Riemann和與連續函數的可積分性。
(3) 微積分基本定理與積分的均值定理。
(4)定積分的應用,如:曲線長、面積、旋轉體表面積與旋轉體體積。
(5) 基本函數:對數與指數函數、反三角函數、雙曲函數。
(6) 不定積分的意義。
(7)定積分與不定積分的各種技巧.如:分部積分法、變數代換法、分
項分式法、反三角函數、雙曲函數等。
(8) 定積分的近似求法。
四、數列與無窮級數
(1) 最小上界性質與證明連續函數中間值定理、極值定理。
(2) 數列的各類極限定義與基本性質。
(3) 數列的不定型與L’Hospital法則。
(4) 瑕積分。
(5) 收斂級數的定義與基本性質。
(6) 正項級數、交錯級數、絕對收斂與斂散性的檢驗。
(7) Taylor級數與冪級數。
五、多變數函數的微積分(本單元偏重在計算方面)。
(1) 偏導數、極限與連續函數的概念。
(2) 微分、均值定理與極值。
(3) 切線與切平面。
(4) 二重積分與三重積分的概念。
(5) 重積分的Jacobian變數代換法。
(6) 二重積分與三重積分的計算與應用。
Year 2
CORE
1. Advanced Calculus
一、實數系
(1) 有序體、良序性、Archimedean性質與完備性。
(2) 有限、無限集與可數、不可數集。
(3) 實數列的極限與單調收斂性質。
(4) Cauchy 數列。
(5) 聚點、上極限與下極限。
二、距離空間的基本拓樸性質
(1) 空間、距離空間、賦範空間與內積空間。
(2) 開集、閉集與集合的聚點、內點、閉包、邊界。
(3) 點列的收斂性與距離空間的完備性。
(4) 收斂級數的定義、正項級數、交錯級數、絕對收斂與斂散性檢驗的證明。
(5) 連通集與路徑連通集。
(6) 緊緻集、Bolzano-Weierstrass定理、Heine-Borel 定理與Cantor交
集定理。
三、連續函數
(1) 連續函數的定義與基本性質。
(2) 連通性與緊緻性之保持定理。
(3) 中間值定理、極值定理及其應用。
(4) 均勻連續函數的定義與基本性質。
四、單變數函數的微分與積分
(1) 導數的定義與微分公式。
(2) 均值定理與反函數定理。
(3) Riemann積分與瑕積分的意義及其基本性質。
(4) Riemann和、連續函數的可積分性、微積分基本定理與積分的均值定理。
(5) 有界變分函數、凸函數與Lebesgue可積分判別定理。
五、函數序列
(1) 函數序列的逐點收斂與均勻收斂。
(2) 函數項級數的均勻收斂與檢驗法,例如:Weierstrass M-Test、Dirichlet
Test 與Abel Test。
(3) 均勻收斂與連續性、微分、積分的關係。
(4) 連續函數序列的極限函數的性質。
(5) Arzela-Ascoli定理、縮距函數定理、Stone-Weierstrass定理。
(6) Cesaro and Abel Summability。
六、Rn上的微分
(1) 導數的定義、偏導數、方向導數、梯度、微分與Jacobian 矩陣。
(2) 連鎖律與乘積公式。
(3) Rn上的均值定理及其應用。
(4) Taylor定理、極值的求法。
(5) 反函數定理、隱函數定理與Lagrange’s乘子法。
2. Linear Algebra
1. Vector Spaces: Subspaces, Linear Combinations, Linear
Independence, Bases, Dimensions.
2. Linear Transformations: Matrix Representation, Range,
Rank, Kernel, Nullity, Invertibility and Isomorphisms, the
Change of Coordinate Matrix.
3. Linear systems: Solve Linear Systems, Elementary
Operations, Elementary Matrices, Solution Set of (Homogeneous
or Non-homogeneous System), Rank of Matrices,
Matrix Inverses, Systems of Linear Equations(theoretical
and computional aspects).
4. Determinant: calculation and theory
5. Diagonalization : Characteristic Polynomial, Eigenvalue,
Eigenvectors, Eigenspace, Invariant Subspace, Cayley-
Hamiton Theorem.
6. Jordan Canonical Forms: Generalized Eigenspaces,
Jordan Canonical Forms, Minimal Polynomials.
7. Orthogonality: Inner Product Spaces, Gram-Schmidt
Process, Adjoint of Linear Operator, Normal and Self-Adjoint
Operators, Unitary and Orthogonal Operators.
3. Statistics
1. Introduction: Statistics in Our Everyday Life, Population and
Sample, The purposeful Collection of Data, Objectives of Statistics.
2. Organization and Description of Data: Tables and Graphs,
Measure of Center, Measure of Variation.
3. Descriptive Study of Bivariate Data: Scatter Diagram, The
Correlation Coefficient, Prediction of One Variable from Another [Linear
Regression].
4. Sampling Distribution: The Sampling Distribution of a Statistic,
Distribution of the Sample Mean and the Central Limit Theorem.
5. Drawing Inferences from Large Samples: Point Estimation,
Confidence Interval, Testing Hypotheses, Inferences about a Population
Proportion.
6. Regression Analysis: Regression with a Single Predictor, A
Straight-Line Regression Model, The Method of Least Squares.
7. Analysis of Categorical Data: Pearson’s 2 Test for Goodness
of Fit, Contingency Table.
8. Analysis of Variance (ANOVA): Comparison of Several Treatments.
9. Nonparametric Inference(Optional): The Wilcoxon Rank-
Sum Test for Comparing Two Treatments, Matched Pair Comparisons,
Measure of Correlation Based on Rank
4. Probability
1. Combinational Analysis: The Basic Principle of Counting, permutations,
Combinations, Multinomial Coefficients.
2. Axioms of Probability: Sample Space and Events, Axioms of
Probability, Some Simple Propositions.
3. Conditional Probability and Independence: Conditional
Probabilities, Bayes’ Formula, Independent Events.
4. Random Variables: Discrete Random Variables, Expected Value,
Expectation and Variance of a Function of a Random Variable, The
Bernoulli, Binomial, Poisson, Geometric, Negative Binomial, Hypergeometric,
and Zeta Random Variables.
5. Continuous Random Variables: Expectation and Variance of
Continuous Random Variables, The Uniform, Normal, Exponential,
Gamma, Weibull, Cauchy, Beta Distributions.
6. Jointly Distribution Random Variables: Joint Distribution
Functions, Independent Random Variables, Conditional Distributions.
7. Properties of Expectation: Expectation of Sums of Random
Variables, Covariance, Variance of Sums, and Correlations, Conditional
Expectation and Prediction, Moment Generating Functions.
8. Limit Theorems: Chebyshev’s Inequality and the Weak Law of
Large Numbers, The Central Limit Theorem, The Strong Law of Large
Numbers.
9. Additional Topics in Probability(optional): The Poisson Process,
Markov Chains, Surprise, Uncertainly, and Entropy, Coding Theory
and Entropy.
10. Simulation(optional): General Techniques for Simulating Continuous
Random Variables, Simulating from Discrete Distributions,
Variance Reduction Techniques.
ELECTIVES
1. Algebra
一、Group
(1) 群的概念(Group), 子群(Subgroups), 循環群(Cyclic Groups)。
(2) 置換群(Permutation groups):具體的群可以幫忙掌握抽象群的概
念和性質。
(3)群同態(Group Homomorphisms)與群同構(Group Isomorphisms):
銜接兩個群的橋樑。
(4) Cayley 定理與三個同構定理:研究群結構的基本工具。
(5) Lagrange定理:研究有限群的基本工具。
(6)正則子群(Normal subgroups),商群(Quotient groups or Factor groups)。
(7) Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups。
(8) Sylow Theorem
二、Ring
(1) 環的概念(Ring),子環(Subrings)。
(2) 整環(Integral domain),理想(Ideals),商環(Quotient rings or Factor
rings),最大理想(Maximal ideals)和質理想(Prime ideals)。
(3) 環的同構定理(Ring homomorphisms):研究環結構的基本工具。
(4) 多項式環:具體且重要的環可以幫忙掌握抽象環的概念和性質。
(5) 多項式的分解:Guass 引理;Eisenstein 法則:探討一般抽象環的
因子分解性質。
(6) Euclidean Domains,主理想整環(Principal Ideal Domains)。
三、體
(1) 向量空間(Vector spaces),線性獨立(Linear independence)。
(2) 體的擴張(Field extension),Splitting fields。
(3) 代數擴張(Algebraic extension)。
(4) 有限體(Finite fields):是算術幾何、代數數論中非常重要的體。
(5) Galois理論:為了探討方程式根式解所得到的漂亮結果。
1. Advanced Calculus
一、實數系
(1) 有序體、良序性、Archimedean性質與完備性。
(2) 有限、無限集與可數、不可數集。
(3) 實數列的極限與單調收斂性質。
(4) Cauchy 數列。
(5) 聚點、上極限與下極限。
二、距離空間的基本拓樸性質
(1) 空間、距離空間、賦範空間與內積空間。
(2) 開集、閉集與集合的聚點、內點、閉包、邊界。
(3) 點列的收斂性與距離空間的完備性。
(4) 收斂級數的定義、正項級數、交錯級數、絕對收斂與斂散性檢驗的證明。
(5) 連通集與路徑連通集。
(6) 緊緻集、Bolzano-Weierstrass定理、Heine-Borel 定理與Cantor交
集定理。
三、連續函數
(1) 連續函數的定義與基本性質。
(2) 連通性與緊緻性之保持定理。
(3) 中間值定理、極值定理及其應用。
(4) 均勻連續函數的定義與基本性質。
四、單變數函數的微分與積分
(1) 導數的定義與微分公式。
(2) 均值定理與反函數定理。
(3) Riemann積分與瑕積分的意義及其基本性質。
(4) Riemann和、連續函數的可積分性、微積分基本定理與積分的均值定理。
(5) 有界變分函數、凸函數與Lebesgue可積分判別定理。
五、函數序列
(1) 函數序列的逐點收斂與均勻收斂。
(2) 函數項級數的均勻收斂與檢驗法,例如:Weierstrass M-Test、Dirichlet
Test 與Abel Test。
(3) 均勻收斂與連續性、微分、積分的關係。
(4) 連續函數序列的極限函數的性質。
(5) Arzela-Ascoli定理、縮距函數定理、Stone-Weierstrass定理。
(6) Cesaro and Abel Summability。
六、Rn上的微分
(1) 導數的定義、偏導數、方向導數、梯度、微分與Jacobian 矩陣。
(2) 連鎖律與乘積公式。
(3) Rn上的均值定理及其應用。
(4) Taylor定理、極值的求法。
(5) 反函數定理、隱函數定理與Lagrange’s乘子法。
2. Linear Algebra
1. Vector Spaces: Subspaces, Linear Combinations, Linear
Independence, Bases, Dimensions.
2. Linear Transformations: Matrix Representation, Range,
Rank, Kernel, Nullity, Invertibility and Isomorphisms, the
Change of Coordinate Matrix.
3. Linear systems: Solve Linear Systems, Elementary
Operations, Elementary Matrices, Solution Set of (Homogeneous
or Non-homogeneous System), Rank of Matrices,
Matrix Inverses, Systems of Linear Equations(theoretical
and computional aspects).
4. Determinant: calculation and theory
5. Diagonalization : Characteristic Polynomial, Eigenvalue,
Eigenvectors, Eigenspace, Invariant Subspace, Cayley-
Hamiton Theorem.
6. Jordan Canonical Forms: Generalized Eigenspaces,
Jordan Canonical Forms, Minimal Polynomials.
7. Orthogonality: Inner Product Spaces, Gram-Schmidt
Process, Adjoint of Linear Operator, Normal and Self-Adjoint
Operators, Unitary and Orthogonal Operators.
3. Statistics
1. Introduction: Statistics in Our Everyday Life, Population and
Sample, The purposeful Collection of Data, Objectives of Statistics.
2. Organization and Description of Data: Tables and Graphs,
Measure of Center, Measure of Variation.
3. Descriptive Study of Bivariate Data: Scatter Diagram, The
Correlation Coefficient, Prediction of One Variable from Another [Linear
Regression].
4. Sampling Distribution: The Sampling Distribution of a Statistic,
Distribution of the Sample Mean and the Central Limit Theorem.
5. Drawing Inferences from Large Samples: Point Estimation,
Confidence Interval, Testing Hypotheses, Inferences about a Population
Proportion.
6. Regression Analysis: Regression with a Single Predictor, A
Straight-Line Regression Model, The Method of Least Squares.
7. Analysis of Categorical Data: Pearson’s 2 Test for Goodness
of Fit, Contingency Table.
8. Analysis of Variance (ANOVA): Comparison of Several Treatments.
9. Nonparametric Inference(Optional): The Wilcoxon Rank-
Sum Test for Comparing Two Treatments, Matched Pair Comparisons,
Measure of Correlation Based on Rank
4. Probability
1. Combinational Analysis: The Basic Principle of Counting, permutations,
Combinations, Multinomial Coefficients.
2. Axioms of Probability: Sample Space and Events, Axioms of
Probability, Some Simple Propositions.
3. Conditional Probability and Independence: Conditional
Probabilities, Bayes’ Formula, Independent Events.
4. Random Variables: Discrete Random Variables, Expected Value,
Expectation and Variance of a Function of a Random Variable, The
Bernoulli, Binomial, Poisson, Geometric, Negative Binomial, Hypergeometric,
and Zeta Random Variables.
5. Continuous Random Variables: Expectation and Variance of
Continuous Random Variables, The Uniform, Normal, Exponential,
Gamma, Weibull, Cauchy, Beta Distributions.
6. Jointly Distribution Random Variables: Joint Distribution
Functions, Independent Random Variables, Conditional Distributions.
7. Properties of Expectation: Expectation of Sums of Random
Variables, Covariance, Variance of Sums, and Correlations, Conditional
Expectation and Prediction, Moment Generating Functions.
8. Limit Theorems: Chebyshev’s Inequality and the Weak Law of
Large Numbers, The Central Limit Theorem, The Strong Law of Large
Numbers.
9. Additional Topics in Probability(optional): The Poisson Process,
Markov Chains, Surprise, Uncertainly, and Entropy, Coding Theory
and Entropy.
10. Simulation(optional): General Techniques for Simulating Continuous
Random Variables, Simulating from Discrete Distributions,
Variance Reduction Techniques.
ELECTIVES
1. Algebra
一、Group
(1) 群的概念(Group), 子群(Subgroups), 循環群(Cyclic Groups)。
(2) 置換群(Permutation groups):具體的群可以幫忙掌握抽象群的概
念和性質。
(3)群同態(Group Homomorphisms)與群同構(Group Isomorphisms):
銜接兩個群的橋樑。
(4) Cayley 定理與三個同構定理:研究群結構的基本工具。
(5) Lagrange定理:研究有限群的基本工具。
(6)正則子群(Normal subgroups),商群(Quotient groups or Factor groups)。
(7) Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups。
(8) Sylow Theorem
二、Ring
(1) 環的概念(Ring),子環(Subrings)。
(2) 整環(Integral domain),理想(Ideals),商環(Quotient rings or Factor
rings),最大理想(Maximal ideals)和質理想(Prime ideals)。
(3) 環的同構定理(Ring homomorphisms):研究環結構的基本工具。
(4) 多項式環:具體且重要的環可以幫忙掌握抽象環的概念和性質。
(5) 多項式的分解:Guass 引理;Eisenstein 法則:探討一般抽象環的
因子分解性質。
(6) Euclidean Domains,主理想整環(Principal Ideal Domains)。
三、體
(1) 向量空間(Vector spaces),線性獨立(Linear independence)。
(2) 體的擴張(Field extension),Splitting fields。
(3) 代數擴張(Algebraic extension)。
(4) 有限體(Finite fields):是算術幾何、代數數論中非常重要的體。
(5) Galois理論:為了探討方程式根式解所得到的漂亮結果。
Year 3
CORE
1. Differential equations
一、一階微分方程:
(1) 介紹微分方程的概念與唯一存在定理。
(2)介紹正合方程式,積分因子(含特殊積分因子和特殊變換),可分
離變數方程式,齊次方程式,線性方程式與Bernoulli 方程式。
(3) 簡介方程式的由來及應用實例。
二、高階微分方程式:
(1) 介紹常係數線性齊次方程式。
(2) 介紹未定係數法與參數變異法
(3) 介紹Cauchy-Euler equation
(4) 簡介方程式的由來及應用實例。
三、級數解:
(1) 介紹有關正規點或奇異點之冪級數解。
(2) 介紹Bessel 方程式與Legendre 方程式。
(3) 簡介方程式的由來及應用實例。
四、線性系統方程組:
(1) 介紹微分算子法與矩陣法。
(2) 簡介方程式的由來及應用實例。
五、Laplace 變換:
(1) 介紹Laplace 變換之定義與其基本性質。
(2) 介紹Laplace 變換之逆變換。
(3) 介紹Laplace 變換在線性方程式或在線性系統方程組上的應用。
六、討論唯一存在性定理(Optional)。
1. Differential equations
一、一階微分方程:
(1) 介紹微分方程的概念與唯一存在定理。
(2)介紹正合方程式,積分因子(含特殊積分因子和特殊變換),可分
離變數方程式,齊次方程式,線性方程式與Bernoulli 方程式。
(3) 簡介方程式的由來及應用實例。
二、高階微分方程式:
(1) 介紹常係數線性齊次方程式。
(2) 介紹未定係數法與參數變異法
(3) 介紹Cauchy-Euler equation
(4) 簡介方程式的由來及應用實例。
三、級數解:
(1) 介紹有關正規點或奇異點之冪級數解。
(2) 介紹Bessel 方程式與Legendre 方程式。
(3) 簡介方程式的由來及應用實例。
四、線性系統方程組:
(1) 介紹微分算子法與矩陣法。
(2) 簡介方程式的由來及應用實例。
五、Laplace 變換:
(1) 介紹Laplace 變換之定義與其基本性質。
(2) 介紹Laplace 變換之逆變換。
(3) 介紹Laplace 變換在線性方程式或在線性系統方程組上的應用。
六、討論唯一存在性定理(Optional)。