奧數
我是part-time教奧數的,我喜歡教奧數遠比我喜歡現在的正職多。
中三奧數題:x是正整數,x = 2 + root ( 2 + root ( 2 + root ( 2 + ... ) )),求 x。
這很簡單,x - 2 = root x,得 x = 4。
這樣答對一個中三生來說就可以取分。但——為什麼我們會知道x是一個正整數?x 這個數是怎麼定義的?不斷又不斷的平方根,平方根內的又不一定是正整數,為什麼?
首先,我們要為x下定義。考慮以下數列:
a_1 = 2 + root (2)
a_2 = 2 + root (2 + root (2))
a_3 = 2 + root (2 + root (2 + root (2)))
....
a_n = 2 + root ( 2 + root ( 2 + root ( 2 + ... ) ))
如果這個數列不斷大(increasing)而且有上限(bounded above),那麼這個數列的極限(limit)就會存在,而這就是 x。
我們的工作,就是要證明1)a_n是increasing,及2)a_n是bounded above的。
1) 要證明a_n是increasing,即證明a_(n+1) - a_n > 0 ,
a_(n+1) - a_n
= 2 + root (a_n) - a_n
= root (a_n) - root (a_(n-1))
= ...
= root (a_2) - root (a_1) (用歸納法(induction))
> 0
2) 由(1),我們證明了a_(n+1) > a_n
=> 2 + root (a_n) > a_n
=> root (a_n) > a_n - 2
=> a_n > (a_n - 2)^2
=> a_n > (a_n)^2 - 4(a_n) + 4
=> 0 > (a_n)^2 - 5(a_n) +4
=> 0> (a_n - 4) (a_n - 1)
=> 1 < a_n < 4
即 a_n是 bounded的,所以limit exists,現在要計算 x 。
x = lim n-> infinity a_n ,代入 x - 2 = root x,得 x = 4。
(以上的計算是在小肥羊打邊爐時做的。)
我們中學時學的數學,跳了很多基本概念沒有教。如果你問為何三角形的內角和為180度,書或老師只會教你剪紙。剪紙?對,剪紙,這個極不嚴謹的方法,就是用來騙中學生的。而我們就是這樣被騙了很多個年頭…
中三奧數題:x是正整數,x = 2 + root ( 2 + root ( 2 + root ( 2 + ... ) )),求 x。
這很簡單,x - 2 = root x,得 x = 4。
這樣答對一個中三生來說就可以取分。但——為什麼我們會知道x是一個正整數?x 這個數是怎麼定義的?不斷又不斷的平方根,平方根內的又不一定是正整數,為什麼?
首先,我們要為x下定義。考慮以下數列:
a_1 = 2 + root (2)
a_2 = 2 + root (2 + root (2))
a_3 = 2 + root (2 + root (2 + root (2)))
....
a_n = 2 + root ( 2 + root ( 2 + root ( 2 + ... ) ))
如果這個數列不斷大(increasing)而且有上限(bounded above),那麼這個數列的極限(limit)就會存在,而這就是 x。
我們的工作,就是要證明1)a_n是increasing,及2)a_n是bounded above的。
1) 要證明a_n是increasing,即證明a_(n+1) - a_n > 0 ,
a_(n+1) - a_n
= 2 + root (a_n) - a_n
= root (a_n) - root (a_(n-1))
= ...
= root (a_2) - root (a_1) (用歸納法(induction))
> 0
2) 由(1),我們證明了a_(n+1) > a_n
=> 2 + root (a_n) > a_n
=> root (a_n) > a_n - 2
=> a_n > (a_n - 2)^2
=> a_n > (a_n)^2 - 4(a_n) + 4
=> 0 > (a_n)^2 - 5(a_n) +4
=> 0> (a_n - 4) (a_n - 1)
=> 1 < a_n < 4
即 a_n是 bounded的,所以limit exists,現在要計算 x 。
x = lim n-> infinity a_n ,代入 x - 2 = root x,得 x = 4。
(以上的計算是在小肥羊打邊爐時做的。)
我們中學時學的數學,跳了很多基本概念沒有教。如果你問為何三角形的內角和為180度,書或老師只會教你剪紙。剪紙?對,剪紙,這個極不嚴謹的方法,就是用來騙中學生的。而我們就是這樣被騙了很多個年頭…